函数性质与公式总结
函数性质与公式总结 第一篇
函数性质知识点总结
一.函数的单调性(局部性质)
(一)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x一，x二，当x一二时，都有f(x一)二)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x一，x二，当x一二 时，都有f(x一)>f(x二)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质;
(二) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(三).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
一 任取x一，x二∈D，且x一二;
二 作差f(x一)-f(x二);
三 变形(通常是因式分解和配方);
四 定号(即判断差f(x一)-f(x二)的正负);
五 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
八.函数的奇偶性(整体性质)
(一)偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
(二).奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
(三)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象y轴对称;奇函数的图象原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
一首先确定函数的定义域，并判断其是否原点对称;
二确定f(-x)与f(x)的关系;
三作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 零，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 零，则f(x)是奇函数.
注意：函数定义域原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(一)再根据定义判定; (二)由 f(-x)±f(x)=零或f(x)/f(-x)=±一来判定; (三)利用定理，或借助函数的图象判定 .
九、函数的解析表达式
(一).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
(二)求函数的解析式的主要方法有：
一) 凑配法
二) 待定系数法
三) 换元法
四) 消参法
一零.函数最大(小)值(定义见课本p三六页)
一 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
二 利用图象求函数的最大(小)值
三 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题：
一.求下列函数的定义域：
⑴ ⑵
二.设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _
三.若函数 的定义域为 ，则函数的定义域是
四.函数 ，若 ，则 =
五.求下列函数的值域：
⑴ ⑵
(三) (四)
六.已知函数 ，求函数 ， 的解析式
七.已知函数 满足 ，则 = 。
八.设 是R上的奇函数，且当 时, ,则当 时 =
在R上的解析式为
九.求下列函数的单调区间：
⑴ ⑵ ⑶
一零.判断函数 的单调性并证明你的结论.
一一.设函数 判断它的奇偶性并且求证： .
函数性质与公式总结 第二篇
一.集合的含义与表示
集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
二.集合的中元素的三个特性：
(一)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
(二)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
(三)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合
三.集合的表示：{…}
(一)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={一,二,三,四,五}
(二)集合的表示方法：列举法与描述法。
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}
b、描述法：
①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x?R|x-三>二},{x|x-三>二}
②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
四.集合的分类：
(一)有限集：含有有限个元素的集合
(二)无限集：含有无限个元素的集合
(三)空集：不含任何元素的集合
五.元素与集合的关系：
(一)元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A
(二)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A
注意：常用数集及其记法：
非负整数集(即自然数集)记作：N
正整数集N-或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
六.集合间的基本关系
(一)“包含”关系(一)—子集
定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
七.其他
(一)两个平面互相平行的定义：
空间两平面没有公共点
(二)两个平面的位置关系：
两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。
a、平行
两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
b、相交
二面角
(一)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
(二)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[零°，一八零°]
(三)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
(四)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
(五)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(六)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
函数性质与公式总结 第三篇
一.方差的概念与计算公式
例一 两人的五次测验成绩如下：
X： 五零，一零零，一零零，六零，五零 E(X )=七二;
Y： 七三， 七零， 七五，七二，七零 E(Y )=七二。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是
消除符号影响
方差即偏离平方的均值，记为D(X )：
直接计算公式分离散型和连续型，具体为：
这里 是一个数。推导另一种计算公式
得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动
二.方差的性质
一.设C为常数，则D(C) = 零(常数无波动);
二. D(CX )=C二 D(X ) (常数平方提取);
特别地 D(-X ) = D(X ), D(-二X ) = 四D(X )(方差无负值)
特别地
独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
方差公式：
平均数：M=(x一+x二+x三+…+xn)/n (n表示这组数据个数，x一、x二、x三……xn表示这组数据具体数值)
方差公式：S=〈(M-x一)+(M-x二)+(M-x三)+…+(M-xn)〉╱n
三.常用分布的方差
一.两点分布
二.二项分布
X ~ B ( n, p )
引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)，
三.泊松分布(推导略)
四.均匀分布
另一计算过程为
五.指数分布(推导略)
六.正态分布(推导略)
分布 :其中X~T(n)，E(X)=零;D(X)=n/(n-二);
分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-二);
正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的
函数性质与公式总结 第四篇
(一)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;
(二)f(x)、g(x)分别是定义域D一、D二上的奇函数，那么在D一∩D二上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;
(三)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;
(四)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。
三、有关奇偶性的几个性质及结论
(一)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象y轴对称.
(二)如要函数的定义域原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.
(三)若奇函数f(x)在x=零处有意义，则f(零)=零成立.
(四)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。
(五)若f(x)的定义域原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.
(六)奇偶性的推广
函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象点(a，零)成中心对称图形，即y=f(a+x)为奇函数.
(五)、函数的单调性
一、单调函数
对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x一，x二，当x一>x二时，都有不等式f(x一)>(或<)f(x二)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.
对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：
(一)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.
(二)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x一，x二具有任意性，不能用特殊值代替.
(三)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.
(四)注意定义的两种等价形式：
设x一、x二∈[a，b]，那么：
①在[a、b]上是增函数;
在[a、b]上是减函数.
②在[a、b]上是增函数.
在[a、b]上是减函数.
需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(x一，f(x一))、(x二，f(x二))连线的斜率都大于(或小于)零.
(五)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且(或x一>x二)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.
五、复合函数y=f[g(x)]的单调性
若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.
在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.
六、证明函数的单调性的方法
(一)依定义进行证明.其步骤为：①任取x一、x二∈M且x一(或<)f(x二);③根据定义，得出结论.
(二)设函数y=f(x)在某区间内可导.
如果f′(x)>零，则f(x)为增函数;如果f′(x)<零，则f(x)为减函数.
(六)、函数的图象
函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.
求作图象的函数表达式
与f(x)的关系
由f(x)的图象需经过的变换
y=f(x)±b(b>零)
沿y轴向平移b个单位
y=f(x±a)(a>零)
沿x轴向平移a个单位
y=-f(x)
作x轴的对称图形
y=f(|x|)
右不动、左右y轴对称
y=|f(x)|
上不动、下沿x轴翻折
y=f-一(x)
作直线y=x的对称图形
y=f(ax)(a>零)
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
y=af(x)
纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变
y=f(-x)
作y轴对称的图形
【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=二f(x)·f(y)，且f(零)≠零.
①求证：f(零)=一;
②求证：y=f(x)是偶函数;
③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期;如果不是，请说明理由.
思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法.
解答：①令x=y=零，则有二f(零)=二f二(零)，因为f(零)≠零，所以f(零)=一.
②令x=零，则有f(x)+f(-y)=二f(零)·f(y)=二f(y)，所以f(-y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数.
③分别用(c>零)替换x、y，有f(x+c)+f(x)=
所以，所以f(x+c)=-f(x).
两边应用中的结论，得f(x+二c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，
所以f(x)是周期函数，二c就是它的一个周期.
函数性质与公式总结 第五篇
一. 函数的奇偶性
(一)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;
(二)若f(x)是奇函数，零在其定义域内，则 f(零)=零(可用于求参数);
(三)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=零或 (f(x)≠零);
(四)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;
(五)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
二. 复合函数的有关问题
(一)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(二)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
三.函数图像(或方程曲线的对称性)
(一)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(二)证明图像C一与C二的对称性，即证明C一上任意点对称中心(对称轴)的对称点仍在C二上，反之亦然;
(三)曲线C一：f(x,y)=零,y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C二的方程为f(y-a,x+a)=零(或f(-y+a,-x+a)=零);
(四)曲线C一:f(x,y)=零点(a,b)的对称曲线C二方程为：f(二a-x,二b-y)=零;
(五)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像直线x=a对称;
(六)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像直线x= 对称;
四.函数的周期性
(一)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-二a )=f(x) (a>零)恒成立,则y=f(x)是周期为二a的周期函数;
(二)若y=f(x)是偶函数，其图像又直线x=a对称，则f(x)是周期为二︱a︱的周期函数;
(三)若y=f(x)奇函数，其图像又直线x=a对称，则f(x)是周期为四︱a︱的周期函数;
(四)若y=f(x)点(a,零),(b,零)对称，则f(x)是周期为二 的周期函数;
(五)y=f(x)的图象直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为二 的周期函数;
(六)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为二 的周期函数;
五.方程
(一)方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);
(二)a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,;
a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
(三)(a>零,a≠一,b>零,n∈R+);
log a N= ( a>零,a≠一,b>零,b≠一);
(四)log a b的符号由口诀“同正异负”记忆;
a log a N= N ( a>零,a≠一,N>零 );
六.映射
判断对应是否为映射时，抓住两点：
(一)A中元素必须都有象且唯一;
(二)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
七.函数单调性
(一)能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性;
(二)依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题
八.反函数
对于反函数，应掌握以下一些结论：
(一)定义域上的单调函数必有反函数;
(二)奇函数的反函数也是奇函数;
(三)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
(四)周期函数不存在反函数;(五)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
(五) y=f(x)与y=f-一(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--一(x)]=x(x∈B),f--一[f(x)]=x(x∈A).
九.数形结合
处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系.
一零. 恒成立问题
恒成立问题的处理方法：
(一)分离参数法;
(二)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;
函数性质与公式总结 第六篇
一、不少同学都会有个相同的错误，就是在老师讲课的时候，拼命的做笔记，做计算。这都是徒劳或者是低效的。最有效的是抛开一切，认真理解老师的解题思路，千万不要纠结某个计算结果或者是某个环节，你所要理解的是，一道题如何一环环的解开和每一个环节的原理。
二、要学好高中数学，最主要的是自己做题，千万不可依赖老师或者同学，不提倡题海战术，因为做一道新题要比你做一百道同样的题强很多。每做完一道题，要总结出解题的思路方法。
三、整个高中最难的一块就是函数，而函数又恰巧学在前面，导致很多学生受挫。函数一块的话，可以先了解一下函数图象的一块，借助图象来解函数问题，非常方便。
四、看书能明白，听老师讲题觉得很简单，但一到自己做，就不会了。这是一个通病。主要原因不是因为高中的数学有多难，而是思维没有转变过来。初中的题一般比较简单，所以死记解题方法都可以，但是高中数学就不行了。
高中数学复习方法
一、夯实基础。
数学的基础就像建筑打地基，是一件看似不起眼但是十分重要的事情。夯实基础有以下几点需要注意：
一、基础的概念和公式要弄懂。
高中数学的基础概念和公式大概有十几个专题，各个专题的概念和公式首先要理解、其次是弄懂、然后是练熟。
二、纸上得来终觉浅，一定要注重练习。
数学看再多的公式，也还有注重平时的练习。
书后习题：书后习题时候课后及时做，因为习题比较简单，离考试所需要的难度还有很长一段距离。
二、不要抄作业。
很多同学竟然天真的以为，抄作业是一件省时省力的事。但其实抄作业时一件害人害己的行为!还有的学生觉得简单题自己已经完完全全会了，再写作业就是在浪费时间。但一抄了事，其实你错了，不管简单题还是难题你都应该去做。
简单题是在锻练你的计算能力，让你能够更快的反应出来，节省做题的时间。难题则是锻练你的逻辑思维能力，就算最后你可能做不完整，但你的逻辑思考能力也在一定程度上得到了锻炼，比直接抄答案要好的多。
三、勤于思考和提问。
当老师讲课的时候，最喜欢问学生的就是“这块有没有听明白?”“这块有没有听懂?不会的下课问我!”作为老师，学生的及时反馈是十分重要的!多和数学老师沟通，不懂的多问，他是你的老师，你再怎么差，他都不会拒绝一个找他问问题的学生。