对页码的使用总结|页码的操作步骤

对页码的使用总结

对页码的使用总结 第一篇

页码问题常见的主要有三种题型： 一、一本书有N页，求排版时用了多少个数字；或者反过来，一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页；

二、已知一本N页的书中，求某个数字出现多少次；

三、已知一本N页的书中，求含有某个数字的页码有多少页

一．编一本书的书页，用了二七零个数字（重复的也算，如页码一一五 用了二个一 和一个五共三个数字），问这本书一共有多少页？

方法一：l--九 是只有九个数字，一零--九九 是二*九零 =一八零个数字，那么剩下二七零-九-一八零= 八一，剩下八一/三 = 二七页，则这本书是九九+二七-一=一二六 页。

方法二：假设这个页数是A页，则有A 个个位数，每个页码除了一--九，其他都有十位数，则有A-九个十位数，同理：有A-九九个百位数。则：A+(A-九)+(A-九九)=二七零 三A-一一零+二=二七零 三A=三七八，A=一二六 方法三：公式法：公式：一本书用了N个数字，求有多少页：N/三+三六。二七零/三 +三六=一二六。

二．一本小说的页码，在排版时必须用二二一一 个数码。问这本书共有多少页？ A．七七三 解析：代入公式：N/三+三六=七三七+三六=七七三 ．王先生在编一本书，其页数需要用六八六九 个字，问这本书具体是多少页？ 方法一：假设这个页数是A页，则：A+(A-九)+(A-九九)+(A-九九九)=六八六九，求出A=一九九四 方法二：六八六九>二八八九，所以，把所有的数字看作是四位数字，不足四位的添O补足四位，l , 二 , 三 , „ 九 记为零零零一 , 零零零二 , 零零零三 ,..零零零九 这样增加了三 * 九 = 二七 个零 一零 , 一一 , 一二 , „ 九九 记为零零一零 , 零零一一 , 零零一二，..零零九九 增加了一八零 个零 一零零 , 一零一，„ 九九九 记为零一零零 , 零一零一，„ 零九九九 增加了九零零 个O(六八六九+二七+一八零+九零零)/四 =一九九四

总结：一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页，N<二八八九时，用公式：N/三+三六；N>二八八九时,用添加零计算。

四.在一-五零零零 页中，出现过多少次数字三 ？

解析：每十个数里的个位上有一个三，五零零零个数就有五零零零/一零=五零零个三，每一百个数里的十位上会有三零到三九,一零个三，所以(五零零零/一零零)乘一零=五零零个三，每一千个数里的百位上会有三零零到三九九，一零零个三所以(五零零零/一零零零)乘一零零=五零零个三，在千位上的三就有三零零零到三九九九，一零零零个三，所以五零零+五零零+五零零+一零零零=二五零零个三

五.一本书有四零零零 页，问数字一 在这本书里出现了多少次？ 解析：我们看四零零零分为千，百，十，个四个数字位置

千位是一 的情况：那么百、十、个三个位置的选择数字的范围是零--九 共计一零个数字。就是一零*一零*一零=一零零零 百位是一 的情况，千位是（零 , 一 , 二 , 三)四个数字可以选择。十位，个位还是零--九，一零个数字可以选择即四*l零*一零=四零零 十位和个位都跟百位一样。那么答案就是一零零零+四零零*三=二二零零

总结：因为在页码一-九九 中，l、二、三、四、五、六、七、八、九 均会出现二零 次；在页码一零零-九九九 中，l、二、三、四、五、六、七、八、九 均会出现二零*九+一零零次。

上面两题均可以用公式,含“一”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的一/一零 乘以（数字位-一)，再加上一零 的（数字位数-l）次方。如三位数：总页数的一 / 一零 乘以（三 一l)+ 一O 的（三-一)次方 四位数：总页数的l / 一零 乘以（四 一l)+ 一零 的（四-l)次方

那么第四题：(五零零零/一零)*三+一零零零=二五零零；第五题：(四零零零/一零)*三+一零零零=二二零零 六．在一-五零零零页中，含三的页数有是多少？ 在页码一-九九中，数字三出现了二零次，即有一九个含三的页码(三三页要去掉一次）；在页码一零零-九九九 中，分两种情况考虑：（一）首位数字是三，那么，后面两位就不用管了，一共有含三的页码一零零页；（二）首位数字不是三，那么必须考虑后两位数字含三，而前面知道，一-九九中，有一九个含三的页码，由于首位数字这时有l、二、四、五、六、七、八、九 这么八种可能性，所以应该是一九 * 八个含三的页码。

本题，在一-九九九中，含三的页码一共一九+一九*八+一零零=一九*九+一零零页；再引申到一零零零-五零零零，也分两种情况：(l)千位是三，则有一零零零页：(二）千位不是三，则只可能是l、二、四，只考虑后三位，有（一九*九+l零零)*三 个含三 的页码。所以，合计是：一九 * 九 + 一零零 +(一九 * 九 + 一零零)* 三 + 一零零零 =二零八四 页 中含有多少个带九 的页面？

答案是四零九五一，排列组合学的不是特别好的同学可以牢记公式: [(一九*九+一零零)*九+一零零零]*九+一零零零零=四零九五一

规律很简单：一九*九+一零零，代表l-九九九里含l、二、三、四、五、六、七、八、九 的页码数；

(一九*九+一零零)*九+一零零零，代表一-九九九九 里含l、二、三、四、五、六、七、八、九 的页码数； [(一九*九+一零零)*九+一零零零]*九+一零零零零，代表l-九九九九九 里含l、二、三、四、五、六、七、八、九 的页码数。

二位数是一九页，然后每多一位数就乘以九，再加上一零的N次方，N=位数减一。八.一本三零零页的书中含“l”的有多少页？ 一九*二+一零零=一三八页

九．将所有自然数，从一 开始一次写下去得到：***一三„ „，试确定第二零六七八六 个位置上出现的数字？ 解析：

方法一：九九九九*四<一零零零零*四=四零零零零<二零六七八六<九九九九九*五,那么肯定是五位数了。

l , 二 , 三 , „ 九 记位零零零零一 , 零零零零二 , 零零零零三 ,..零零零零九 这样增加了四 * 九 = 三六 个零 一零 , 一一 , 一二 , „ 九九 记为零零零一零 , 零零零一一 , 零零零一二，..零零零九九 增加了二七零 个零 一零零 , 一零一，„ 九九九 记为零零一零零 ,零零一零一，„ 零零九九九 增加了一八零零 个O 一零零零,一零零一，„ ,九九九九记为零一零零零 ,零一零一零，„ 零九九九九 增加了九零零零 个O(二零六七八六+三六+二七零+一八零零+九零零零)/五 =二一七八九二/五=四三五七八余二, 说明二零六七八八 位置上的数就是第四三五七九 的第二个数字三 方法二

设有A页，那么：A+(A-九)+（A-九九）+（A-九九九）+（A-九九九九)=二零六七八八 五A-(九+九九+九九九+九九九九)=二零六七八六 A=四三五七八余数是二 说明二零六七八六 位置上的数就是第四三五七九 的第二个数字三

一零、一本小说的页码，在印刷时必须用_个铅字，在这一本书的页码中数字一出现多少次？

解析：共有_/三+三六=六九九 页。

即出现：(七零零/一零)*(三-一)+一零零=二四零次

一一.印刷一本书用了一九九二个数字，在这本书中出现数字二的页码有多少页？

解析：有一九九二/三+三六=六六四+三六=七零零页，含有数字二的页码：六*一九+一零零=二一四选A

对页码的使用总结 第二篇

一．页码问题

对多少页出现多少一或二的公式

如果是X千里找几，公式是 一零零零+X零零*三 如果是X百里找几，就是一零零+X零*二，X有多少个零 就*多少。依次类推！请注意，要找的数一定要小于X，如果大于X就不要加一零零零或者一零零一类的了，比如，七零零零页中有多少三 就是 一零零零+七零零*三=三一零零（个）

二零零零零页中有多少六就是 二零零零*四=八零零零（个）

友情提示，如三零零零页中有多少三，就是三零零*三+一=九零一，请不要把三零零零的三忘了

二．页码问题

(一)某数出现多少次问题

九九中，某数（不含零）出现二零次。九九九中，某数（不含零）出现二零*九+一二零次。

(二)含某数的页数有多少问题（就是出现次数减去重复次数）九九中，含某数（不含零）一九页。九九九中，含某数（不含零）一九*九+一零零页。

九九九九中，含某数（不含零）(一九*九+一零零)*九+一零零零页。(三)A页的书需要多少字符数问题 A+A-九+A-九九=B(字符数)。

(四)页码数加减是否有误（等差求和公式的运用）等差求和公式是：Sn=（a一+an）×n/二，对于书本来说，页码是从第一页始，因此SN=（一+n）×n/二≈n^二/二

【解析】例题：一本故事书共一二一页，在这本书的页码中数字“一”出现多少次？？

选D。零-九九中 二零个，一零零-一二一中 二二+一一+二=三五个，二零+三五=五五。

例题：老李有一本很旧的书，已知这本书最后一页页码的第一个数字是三，其它的页码数都已模糊不清。这本书出现数字三的次数有一八零次。求这本书由多少个铅字组成（一代表一个铅字，一一，代表二个铅字） 【解析】选B。二零+二零+二零+一二零，推出三九九页，三九九x三-九-九九=一零八九。

例题：编一本书的书页，用了二七零个数字（重复的也算，如页码一一五用了二个一和一个五，共三个数字），问这本书一共有多少页？

【解析】选B。首先肯定是三位数，A+A-九+A-九九=二七零，三A=三七八，A=一二六（页）。例题：甲乙两册书的页码共七七七个数码，其中甲比乙书多七页，问甲书有多少页？ 【解析】选D。一-九﹏九，一零-九九﹏一八零，甲乙都在百页。多七页就多二一个数码，可列X+Y=七七七,X-Y=二一 ；解得，X=三九九。三A-九-九九=三九九，A=一六九（页）

例题：一本书的页码是连续的自然数，一，二，三，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确结果一九九七，则这个被加了两次的页码是() 【解析】选D。N*(N+一)/二<=一九九七，N最大是六二时，即一九五三。则被多加的页码是 一九九七-一九五三=四四。估算运用：n*(n+一)/二<一九九七，n*（n+一)<三九九四，n^二<三九九四，n^二<四零零零。

例题：有一本书的中间被撕掉了一张，余下的各页的页码数之和正好是一零零零，则被撕掉的那一张页码是（）和一八 和一九 和二零 和二二 【解析】选D。共四五张，等差求和（一+四五）*四五/二=二三*四五=一零三五，一零三五-一零零零=三五。

例题：如果把一到九九九些自然数按照从小到大的顺序排成一排，这样就组成了一个多位数：***——九九六九九七九九八九九九.那么在这个多位数里，从左到右第二零零零个数字是多少？？

【解析】一-九有九个数，一零-九九有一八零个数，求第二零零零个数字，减去前面的二零零零-一八九=一八一一。而一零零-九九九 每个数值是三位数。那么一八一一/三可算出是第几个数值（不是数字）一八一一/三 = 六零三……二，因起步为一零零，一零零+六零三...二=七零三....二。

二，握手问题

N个人彼此握手，则总握手数

S＝（n-一）{a一+a(n-一)}/二=（n-一）{一+一+(n-二)}/二=『n^二-n』/二 =N×（N-一）/二 例题：

某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的二个人握手，整个游戏一共握手一五二次，请问这个班的同学有（）人

A、一六 B、一七 C、一八 D、一九

【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取三＝一五二 但是在计算X时却是相当的麻烦。我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－三次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-三）次手。但是没二个人之间的握手都重复计算了一次。则实际的握手次数是x×（x-三）÷二＝一五二 计算的x＝一九人

三，钟表重合公式

钟表几分重合，公式为： x/五=(x+a)/六零 a时钟前面的格数

四，时钟成角度的问题

设X时时，夹角为三零X，Y分时，分针追时针，设夹角为A.（请大家掌握）

钟面分一二大格六零小格每一大格为三六零除以一二等于三零度，每过一分钟分针走六度，时针走度，能追度。

一.【三零X－】或是三六零－【】 【】表示绝对值的意义（求角度公式）

变式与应用

二.【三零X－】=A或三六零－【】=A（已知角度或时针或分针求其中一个角）

五，往返平均速度公式及其应用（引用）

某人以速度a从A地到达B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=二ab/(a+b)。

证明：设A、B两地相距S，则

往返总路程二S，往返总共花费时间 s/a+s/b 故 v=二s/(s/a+s/b)=二ab/(a+b)六，空心方阵的总数

空心方阵的总数＝（最外层边人(物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×四 ＝ 最外层的每一边的人数^２－（最外层每边人数－二*层数）^２

＝每层的边数相加×四－四×层数

空心方阵最外层每边人数=总人数/四/层数+层数

方阵的基本特点： ① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层边上的人数就少二；

② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：

③ 中实方阵总人（或物）数=(每边人（或物）数)二=（最外层总人数÷四+一）二 例：① 某部队排成一方阵，最外层人数是八零人，问方阵共有多少官兵？（四四一人）

② 某校学生刚好排成一个方队，最外层每边的人数是二四人，问该方阵有多少名学生？（五七六名）解题方法：方阵人数＝（外层人数÷四+一）二＝（每边人数）二

③ 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少三三人。问参加团体操表演的运动员有多少人？（二八九人）

解题方法：去掉的总人数＝原每行人数×二－一＝减少后每行人数×二+一

典型例题：某个军队举行列队表演，已知这个长方形的队阵最外围有三二人，若以长和宽作为边长排出二个正方形的方阵需要一八零人。则原来长方形的队阵总人数是（）

A、六四，B、七二 C、九六 D、一零零

【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。长方形的（长＋宽）×二＝三二＋四 得到长＋宽＝一八。可能这里面大家对于长＋宽＝一八 有些难以计算。你可以假设去掉四个点的人先不算。长＋宽（不含两端的人）×二＋四（四个端点的人）＝三二，则计算出不含端点的长＋宽＝一四 考虑到各自的二端点所以实际的长宽之和是一四＋二＋二＝一八。求长方形的人数，实际上是求长×宽。根据条件 长×长＋宽×宽＝一八零 综合（长＋宽）的平方＝长×长＋宽×宽＋二×长×宽＝一八×一八 带入计算即得到B。其实

在我们得到长宽之和为一八时，我们就可以通过估算的方法得到选项B 七，青蛙跳井问题

例如：①青蛙从井底向上爬，井深一零米，青蛙每跳上五米，又滑下四米，这样青蛙需跳几次方可出井？（六）

②单杠上挂着一条四米长的爬绳，小赵每次向上爬一米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠？（七）

总解题方法：完成任务的次数＝井深或绳长-每次滑下米数（遇到半米要将前面的单位转化成半米）

例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的四米转换成八个半米再计算。

完成任务的次数＝（总长-单长）/实际单长+一 八，容斥原理

总公式：满足条件一的个数＋满足条件二的个数－两个都满足的个数＝总个数－两个都不满足的个数

【国二零零六一类-四二】现有五零名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有四零人，化学实验做正确的有三一人，两种实验都做错的有四人，则两种实验都做对的有多少人？ 人 人 人 人

上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”，这类问题一般比较简单，使用容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较高，而画图浪费时间比较多。鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出，下面华图名师李委明给出一个通解公式，希望对大家解题能有帮助：

例如上题，代入公式就应该是：四零+三一-x=五零-四，得到x=二五。我们再看看其它题目：【国二零零四A-四六】某大学某班学生总数为三二人，在第一次考试中有二六人及格，在第二次考试中有二四人及格，若两次考试中，都没有及格的有四人，那么两次考试都及格的人数是多少？ 代入公式：二六+二四-x=三二-四，得到x=二二 九，传球问题

这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。

【李委明解三】不免投机取巧，但最有效果（根据对称性很容易判断结果应该是三的倍数，如果答案只有一个三的倍数，便能快速得到答案），也给了一个启发----传球问题核心公式

N个人传M次球，记X=[（N-一）^M]/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。

四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式：

种 种 种 种

x=(四-一)^五/四 x=六零 十，圆分平面公式：

N^二-N+二,N是圆的个数

十一，剪刀剪绳

对折N次，剪M刀，可成M*二^n+一段

将一根绳子连续对折三次,然后每隔一定长度剪一刀，共剪六刀。问这样操作后,原来的绳子被剪成了几段? A．一八段 B．四九段 C．四二段 D．五二段

十二，四个连续自然数，性质一，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被二整除，但是不能被四整除

性质二，他们的积+一是一个奇数的完全平方数

十三，骨牌公式

公式是：小于等于总数的二的N次方的最大值就是最后剩下的序号

十四，指针重合公式

钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：六一T=S（S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书，确定S后算出T的最大值知道相遇多少次。）

十五，图色公式

公式：（大正方形的边长的三次方）—（大正方形的边长—二）的三次方。

十六，装错信封问题

小明给住在五个国家的五位朋友分别写信，这些信都装错的情况共有多少种 四四种

f（n）=n！（一-一/一！+一/二！-一/三!......+（-一）n（一/n！））

或者可以用下面的公式解答

装错一信 零种

装错二信：一种二 四 九 五 四四

递推公式是S(n)=(n-一)+(-一)^n~~~~~ 如果是六封信装错的话就是二六五~~~~ 十七，伯努利概率模型

某人一次涉及击中靶的概率是三/五，设计三次，至少两次中靶的概率是

集中概率三/五，则没集中概率二/五，即为两次集中的概率+三次集中的概率

公式为 C(二,三)*[(三/五)^二]*[(二/五)^一]+C(三,三)[(三/五)^三]*[(二/五)^零] 八一/一二五

十八，圆相交的交点问题

N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析 N*(N-一)十九，约数个数问题

M=A^X*B^Y 则M的约数个数是

（X+一）（Y+一）

三六零这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？

解〕三六零=二×二×二×三×三×五，所以三六零的任何一个约数都等于至多三个二（可以是零个，下同），至多两个三和至多一个五的积。如果我们把下面的式子

（一＋二＋四＋八）×（一＋三＋九）×（一＋五）

展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看出，三六零的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。由于第一个括号里有四个数，第二个括号里有三个数，第三个括号里有二个数，所以这个展开式中的加数个数为四×三×二=二四，而这也就是三六零的约数的个数。另一方面，三六零的所有约数的和就等于这个展开式的和，因而也就等于

（一＋二＋四＋八）×（一＋三＋九）×（一＋五）

=一五×一三×六=一，一七零

答：三六零的约数有二四个，这些约数的和是一，一七零。

甲数有九个约数，乙数有一零个约数，甲、乙两数最小公倍数是二八零零，那么甲数和乙数分别是多少？

解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.二八零零＝二四×五二×七.在它含有的约数中是完全平方数，只有

一，二二，二四，五二，二二×五二，二四×五二.在这六个数中只有二二×五二＝一零零，它的约数是（二＋一）×（二+一）＝九（个）.二八零零是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是一零零＝二二×五二，因此乙数至少要含有二四和七，而二四×七＝一一二恰好有（四+一）×（一＋一）＝一零（个）约数，从而乙数就是一一二.综合起来，甲数是一零零，乙数是一一二.二十，吃糖的方法

当有n块糖时，有二^(n-一)种吃法。

二十一，隔两个划数

一九八七=三^六+一二五八 一二五八÷二×三+一=一八八八 即剩下的是一八八八

减去一能被三整除

二十二，边长求三角形的个数

三边均为整数，且最长边为一一的三角形有多少个？

[asdfqwer]的最后解答：

一一,一一,一一;一一,一一,一零;一一,一一,九;...一一,一一,一;一一,一零,一零;一一,一零,九;...一一,一零,二;一一,九,九;...一一,九,三;一一,八,八;...一一,八,四;一一,七,七,...一一,七,五;一一,六,六;

一+三+五+七+九+一一=六^二=三六 如果将一一改为n的话，n=二k-一时，为k^二个三角形；

n=二k时，为(k+一)k个三角形。

二十三，二乘以多少个奇数的问题

如果N是一，二，三，…，一九九八，一九九九，二零零零的最小公倍数，那么N等于多少个二与一个奇数的积？

解：因二^一零=一零二四，二^一一=二零四八＞二零零零，每个不大于二零零零的自然数表示为质因数相乘，其中二的个数不多于一零个，而一零二四=二^一零，所以，N等于一零个二与某个奇数的积。

二十四，直线分圆的图形数

设直线的条数为N 则 总数=一+{N（一+N）}/二

将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于五零个小纸片，至少要画多少条直线？请说明．

〔解〕我们来一条一条地画直线。画第一条直线将圆形纸片划分成二块．画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成四块（增加了二块），否则只能划分成三块．类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同（即没有三条直线交于一点），则将圆形纸片划分成七块（增加了三块），否则划分的块数少于七块．下图是画三条直线的各种情形

由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同．这时增加的块数等于直线的条数。（为什么？）这样划分出的块数，我们列个表来观察：

直线条数纸片最多划分成的块数一＋一

一＋一＋二

一+一+二+三

一+一＋二+三+四 五 一＋一＋二+三+四+五

不难看出，表中每行右边的数等于一加上从一到行数的所有整数的和。（为什么？）我们把问题化为：自第几行起右边的数不小于五零？我们知道

一+一+二+三＋…＋一零＝五六，一+一＋二＋三＋…＋九=四六，可见

九行右边还不到五零，而第一零行右边已经超过五零了。答：至少要画一零条直线。

二十五，公交车超骑车人和行人的问题

一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的三倍，每个隔一零分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔二零分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？

此类题通解公式：

a=超行人时间，b=超自行车时间，m=人速，n=自行车速

则每隔t分钟发车；t=（abn-abm）/(bn-am)，令M=一 N=三，解得T=八。

二十六，公交车前后超行人问题

小明放学后,沿某公交路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停的运行,每隔九分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔七分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车?

此类题有个通解公式：如果a分钟追上，b分钟相遇，则是二ab/（a+b）分钟发一次车

二十七，象棋比赛人数问题

象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局胜者记二分，负者记零分，和棋各记一分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是:一九七九，一九八零，一九八四，一九八五，经核实只有一位观众统计正确，则这次比赛的选手共有多少名?

解析：四四*四三=一八九二，四五*四四=一九八零，四六*四五=二零七零 所以选B 二十八，频率和单次频度都不同问题

猎犬发现在离它九米远的前方有一只奔跑着的兔子，立刻追赶，猎犬的步子大，它跑五步的路程，兔要跑九步，但兔子动作快，猎犬跑二步的时间，兔子跑三步。猎犬至少跑多少米才能追上兔子？（）

答案b

分析：猎犬的步子大，它跑五步的路程，兔要跑九步，但兔子动作快，猎犬跑二步的时间，兔子跑三步.可知猎犬和兔子的速度比是六:五，s/(s-九)=六/五，s=五四 二十九，上楼梯问题

一般来说上电梯有a一=一 a二=二 a三=四 a四=a一+a二+a三 所以一般公式是 an=a(n-一)+a(n-二)+a(n-三)三十，牛吃草公式

核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)*天数

例如:一零牛可吃二零天,一五牛可吃一零天,则二五牛可吃多少天? 解:可用公式,设每天恰可供X头牛吃一天,二五牛可吃N天

则(一零-X)*二零=(一五-X)*一零=(二五-X)*N，可得X=五,Y=五 三十一，十字相乘法

十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

（二零零七年国考）某班男生比女生人数多八零%，一次考试后，全班平均成级为七五 分，而女生的平均分比男生的平均分高二零%，则此班女生的平均分是：

A ．八四 分 分 分 分 答案：A

分析： 假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。男生与女生的比例是九：五。

男生：Y 九 七五 女生：X 五

根据十字相乘法原理可以知道

X=八四

六.（二零零七年国考）．某高校二零零六 毕业学生七六五零 名，比上增长二 %.其中本科毕业生比上减少二 %.而研究生毕业数量比上增加一零 % , 那么，这所高校今年毕业的本科生有：

A ．三九二零 人 B ．四四一零 人 C ．四九零零人 D ．五四九零 人

答案：C

分析：去年毕业生一共七五零零人。七六五零/（一+二%）=七五零零人。

本科生：-二% 八% 二%

研究生：一零% 四%

本科生：研究生=八%：四%=二：一。

七五零零*（二/三）=五零零零 五零零零*

此方法考试的时候一定要灵活运用

三十二，兔子问题

An=A(n-一)An(n-二)

已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一月内生出一对幼兔。如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对兔子？

析：一月:一对幼兔

二月:一对成兔

三月;一对成兔.一对幼兔

四;二对成兔.一对幼兔

五;;三对成兔.二对幼兔

六;五对成兔.三对幼兔.......可看出规律:一,一,二,三,五,八(第三数是前两数之和),可求出第一二项

为:一三,二一,三四,五五,八九,一四四，答:有一四四只兔

三十三，称重量砝码最少的问题

例题：要用天平称出一克、二克、三克……四零克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？

分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。

（一）称重一克，只能用一个一克的砝码，故一克的一个砝码是必须的。

（二）称重二克，有三种方案：

①增加一个一克的砝码；

②用一个二克的砝码；

③用一个三克的砝码，称重时，把一个一克的砝码放在称重盘内，把三克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用三-一=二。

（三）称重三克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。

（四）称重四克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用一克、三克两个砝码就可以称出（三+一）克以内的任意整数克重。

（五）接着思索可以进行一次飞跃，称重五克时可以利用

九-（三+一）=五，即用一个九克重的砝码放在砝码盘内，一克、三克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到一+三+九=一三（克）以内的任意整数克重。

而要称一四克时，按上述规律增加一个砝码，其重为

一四+一三=二七（克），可以称到一+三+九+二七=四零（克）以内的任意整数克重。

总之，砝码重量为一，三，三二，三三克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。

三十三，文示图

红圈： 球赛。蓝圈： 电影 绿圈：戏剧。

X表示只喜欢球赛的人； Y表示只喜欢电影的人； Z表示只喜欢戏剧的人

a表示喜欢球赛和电影的人。仅此二项。不喜欢戏剧

b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此二项。不喜欢球赛

c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此二项 不喜欢电影。

中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。我们用 T表示。

回顾上面的七个部分。X，y，z，a，b，c，T 都是相互独立。互不重复的部分

现在开始对这些部分规类。

X＋y＋z＝是只喜欢一项的人 我们叫做 A a+b+c＝是只喜欢二项的人 我们叫做B T 就是我们所说的三项都喜欢的人

x＋a＋c＋T＝是喜欢球赛的人数 构成一个红圈

y＋a＋b＋T＝是喜欢电影的人数 构成一个蓝圈

z＋b＋c＋T＝是喜欢戏剧的人数 构成一个绿圈

三个公式。

（一）A＋B＋T＝总人数

（二）A＋二B＋三T＝至少喜欢一个的人数和

（三）B＋三T＝至少喜欢二个的人数和

例题：学校教导处对一零零名同学进行调查，结果有五八人喜欢看球赛，有三八人喜欢看戏剧，有五二人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有六人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有四人，三种都喜欢的有一二人。

通过这个题目我们看 因为每个人都至少喜欢三项中的一项。则我们用三个圈红，绿，蓝代表球赛。戏剧、和电影。

A＋B＋T＝一零零 A＋二B＋三T＝一四八 T＝一二 则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的A=六四 B=二四

典型例题：甲,乙,丙三个人共解出二零道数学题,每人都解出了其中的一二道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（）题? A、六 B、五 C、四 D、三

【解析】第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的我们设a表示简单题目，b表示中档题目 c表示难题

a＋b＋c＝二零

c＋二b＋三a＝一二×三 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的将a＋b＋c＝二零变成 二a＋二b＋二c＝四零 减去 上面的第二个式子

得到： c－a＝四 答案出来了

可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当当完全了解熟练运用a＋二b＋三c这个公式时，你会发现再难的题目也不会超过一分钟。

三十四，九宫图问题

此公式只限于奇数行列

步骤一：按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写！

步骤二： 然后将三×三格以外格子的数字折翻过来，最左边的放到最右边，最右边的放到最左边

最上边的放到最下边，最下边的放到最上边

这样你再看中间三×三格子的数字是否已经满足题目的要求了 呵呵！

三十五，用比例法解行程问题

行程问题一直是国家考试中比较重要的一环，其应用之广恐无及其右者。行程问题的计算量按照基础做法不得不说非常大。所以掌握简单的方法尤为重要。当然简单的方法需要对题目的基础知识的全面了掌握和理解。

在细说之前我们先来了解如下几个关系：

路程为S。速度为V 时间为T S＝VT V＝S/T T＝S/V

S相同的情况下： V跟T成反比

V相同的情况下： S跟T成正比

T相同的情况下： S跟V成正比

注：比例点数差也是实际差值对应的比例！理解基本概念后，具体题目来分析

一、甲乙二人分别从相距二零零千米的AB两地开车同时往对方的方向行驶。到达对方始发点后返回行驶，按照这样的情况，二人第四次相遇时甲比乙多行了二八零千米 已知甲的速度为六零千米每小时。则乙的速度为多少？

分析：这个题目算是一个相遇问题的入门级的题目。我们先从基础的方法入手，要多给自己提问 求乙的速度 即要知道乙的行驶路程S乙，乙所花的时间T乙。这二个变量都没有告诉我们，需要我们去根据条件来求出：

乙的行驶路程非常简单可以求出来。因为甲乙共经过四次相遇。希望大家不要嫌我罗嗦。我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给大家。

第一次相遇情况

A（甲）．。。。。。。。。。。（甲）C（乙）。。。。。。。。。。。B（乙）

AC即为第一次相遇 甲行驶的路程。BC即为乙行驶的路程

则看出 AC＋BC＝AB 两者行驶路程之和＝S 第二次相遇的情况

A．。。。。。。。。。。（乙）D（甲）。。。C。。。。。。。。。。。。。B

在这个图形中，我们从第一次相遇到第二次相遇来看甲从C点开始行驶的路线是C－B－D，其路程是 BC＋BD 乙行驶的路线则是C－A－D 其行驶的路程是AC＋AD

可以看出第二次相遇两者的行驶路程之和是BC＋BD＋AC＋AD＝（BC＋AC）＋（BD＋AD）＝二S，同理第三，四次相遇都是这样。

则我们发现 整个过程中，除第一次相遇是一个S外。其余三次相遇都是二S。总路程是二×三S＋S＝七S 根据题目，我们得到了行驶路程之和为七×二零零＝一四零零

因为甲比乙多行驶了二八零千米 则可以得到 乙是（一四零零－二八零）÷二＝五六零 则甲是五六零＋二八零＝八四零

好，现在就剩下乙的行驶时间的问题了。因为两个人的行驶时间相同则通过计算甲的时间得到乙的时间 即 八四零÷六零＝一四小时。

所以T乙＝一四小时。那么我就可以求出乙的速度V乙＝S乙÷T乙＝五六零÷一四＝四零 说道这里我需要强调的是，在行程问题中，可以通过比例来迅速解答题目。

比例求解法：

我们假设乙的速度是V 则根据时间相同，路程比等于速度比，S甲：S乙＝V甲：V乙 衍生出如下比例：（S甲＋S乙）：（S甲－S乙）＝（V甲＋V乙）：（V甲－V乙）

得出 一四零零：二八零＝（六零＋V）：（六零－V）解得 V＝四零

二、甲车以每小时一六零千米的速度，乙车以每小时二零千米的速度，在长为二一零千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速一/三，而乙车则增速一/三。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？

【解析】 我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等

一六零×（二/三）的N次方＝二零×（四/三）的N次方 N代表了次数 解得N＝三 说明第三次相遇即达到速度相等

第一次相遇前： 开始时速度是一六零：二零＝八：一 用时都一样，则路程之比＝速度之比

我们设乙行驶了a千米 则（a＋二一零）： a ＝ 八：一 解得 a＝三零

第二次相遇前： 速度比是 甲：乙＝四：一 用时都一样，则路程之比＝速度之比

我们设乙从第一次相遇到第二次相遇行驶了b千米 则（b＋二一零）： b ＝ 四：一 解得 a＝七零 第三次相遇前：速度比是 甲：乙＝二：一 用时都一样，则路程之比＝速度之比

我们设乙从第二次相遇到第三次相遇行驶了c千米 则（c＋二一零）： c ＝ 二：一 解得 c＝二一零 则三次乙行驶了 二一零＋七零＋三零＝三一零千米

而甲比乙多出三圈 则甲是 二一零×三＋三一零＝九四零 则 两人总和是 九四零＋三一零＝一二五零

例三、一辆汽车以每小时四零千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的四分之三多五米，再改用每小时三零千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了一零分钟，甲、乙两城相距多远？

【解析】我们知道多出来的一零分钟即一/六小时是在最后一/四差五千米的路程里产生的，则根据路程相同

速度比等于时间比的反比

即 T三零：T四零＝四零：三零＝四：三

所以三零千米行驶的最后部分是用了 一/六×（四－三）×四＝二/三小时

即路程是三零×二/三=二零千米

总路程是(二零＋五)÷一/四=一零零

四、甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆一零次时乙摇浆八次,而乙摇浆七零次,所走的路程等于甲摇浆九零次所走的路程,现甲先摇浆四次,则乙摇浆多少次才能追上?

【解析】 甲摇浆一零次时乙摇浆八次 知道甲乙速度之比=五：四

而乙摇浆七零次,所走的路程等于甲摇浆九零次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲：乙＝七：九

所以，我们来看 相同时间内甲乙得距离之比，五×七：四×九＝三五：三六 说明，乙比甲多出一个比例单位

现在甲先划桨四次，每浆距离是七个单位，乙每浆就是九个单位，所以甲领先乙是四×七＝二八个单位，事实上乙每四浆才能追上三六-三五＝一个单位，说明二八个单位需要二八×四＝一一二浆次追上！选C

五、甲乙两个工程队共一零零人,如果抽调甲队人的一/四至乙队,则乙队比甲队多了二/九,问甲队原来多少人?

这个题目其实也很简单，下面我说一个简单方法

【解析】 根据条件乙队比甲队多了二/九 我们假设甲队是单位一，则乙队就是一＋二/九＝一一/九，一零零人的总数不变

可见 甲乙总数是一＋一一/九=二零/九（分母不看）

则一零零人被分成二零分 即甲是一零零÷二零×九＝四五 乙是 五五

因为从甲队掉走一/四 则剩下的是三/四 算出原来甲队是 四五÷三/四＝六零 三十六，计算错对题的独特技巧

例题：某次考试有三零道判断题，每做对一道题得四分，不做的不得分，做错一道题倒扣二分 小明得分是九六分，并且小明有题目没做，则小明答对了几道试题（）

A 二八 B 二七 C 二六 D二五 正确答案是 D 二五题

我们把一个答错的和一个不答的题目看成一组，则一组题目被扣分是六＋四＝一零 解释一下六跟四的来源

六是做错了不但得不到四分还被扣除二分 这样里外就差四＋二＝六分

四是不答题 只被扣四分，不倒扣分。

这两种扣分的情况看着一组

目前被扣了三零×四－九六＝二四分

则说明 二四÷一零＝二组 余数是四

余数是四 表明二组还多出一个没有答的题目

则表明 不答的题目是二＋一＝三题，答错的是二题

三十七，票价与票值的区别

票价是P（二，M）是排列 票值是C（二，M）

三十八，两数之间个位和十位相同的个数

一二一七到二七九二之间有多少个位数和十位数相同的数？

从第一个满足条件的数开始每个满足条件的数之间都是相差一一 方法一：

看整数部分一二一七～二七九二

先看一二二零～二七九零 相差一五七零 则有这样规律的数是一五七零÷一零＝一五七个

由于这样的关系 我总结了一个方法 给大家提供一个全新的思路

方法二：

我们先求两数差值 二七九二－一二一七＝一五七五 一五七五中有多少一一呢 一五七五÷一一＝一四三 余数是二 大家不要以为到这里就结束了 其实还没有结束

我们还得对结果再次除以一一 直到所得的商小于一一为止

商+余数再除以一一

（一四三＋二）÷一一＝一三 余数是二

（一三＋二）÷一一＝一 因为商已经小于一一，所以余数不管

则我们就可以得到个数应该是一四三＋一三＋一＝一五七

不过这样的方法不是绝对精确的，考虑到起始数字和末尾数字的关系。误差应该会在一之间！不过对于考公务员来说 误差为一 已经可以找到答案了！

三十九，搁两人握手问题

某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的二个人握手，整个游戏一共握手一五二次，请问这个班 的同学有（）人

A、一六 B、一七 C、一八 D、一九

【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取三＝一五二 但是在计算X时却是相当的麻烦。我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－三次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-三）次手。但是没二个人之间的握手都重复计算了一次。则实际握手次数是x×（x-三）÷二＝一五二 计算的x＝一九人

四十，溶液交换浓度相等问题

设两个溶液的浓度分别为A％，B％并且 A＞B 设需要交换溶液为X 则有：（B－X）：X＝X：（A－X）

A：B=（A-X）：X

典型例题：两瓶浓度不同得盐水混合液。六零％的溶液是四零克，四零％的溶液是六零克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换（）克的溶液？

A、三六 B、三二 C、二八 D、二四

【解析】答案选D 我们从两个角度分析一下，假设需要交换的溶液为a克。则我们来一个一个研究，先看六零％的溶液 相对于交换过来的a克四零％的溶液 可以采用十字交叉法来得出一个等式 即（再设混和后的标准浓度是p）

四零－a ：a＝（P－四零％）：（六零％－P）

同理我们对四零％的溶液进行研究 采用上述方法 也能得到一个等式：

六零－a ：a＝（六零％－P）：（P－四零％）

一目了然，两者实际上是反比，即四零－a ：a＝a ：六零－a 解得 a＝二四 即选D

如果你对十字交叉法的原理理解的话 那么这个题目中间的过程完全可以省去。所以说任何捷径都是建立在你对基础知识的把握上。

解法二： 干脆把二个溶液倒在一起混和，然后再分开装到二个瓶子里 这样浓度也是相等的。我们根据十字交叉法，六零跟四零的溶液混合比例 其实跟交换的x克六零％溶液与剩下六零－x克四零％的溶液比例成反比，则六零：四零＝六零－x：x解 X＝二四克

四十一，木桶原理

一项工作由编号为一～六的工作组来单独完成，各自完成所需的时间是：五天，七天，八天，九天，天，一八天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来共同完成。则需要（）天？

A、 B、三 C、 D、六

【解析】这个题目就是我们常说的“木桶效应”类型的题目。“木桶效应”概念来自于经济学中的称呼。意思是一个木桶是由若干个木板拼凑起来的。其存水量取决于最短的那块木板。这个题目我们看 该项工作平均分配给了每个小组，则每个小组完成一/六的工作量。他们的效率不同 整体的时间是取决于最慢的那个人。当最慢的那个人做完了，其它小组早就完成了。一八天的那个小组是最慢的。所以完成一/六需要三小时，选B

例题：一项工作，甲单独做需要一四天，乙单独做需要一八天，丙丁合做需要八天。则四人合作需要（）天？

A、四 B、五 C、六 D、七

【解析】 题目还是“木桶效应”的隐藏运用。我们知道甲乙的各自效率。但是丙丁不知道，根据合做的情况 并且最后问的也是合作的情况。我们不妨将其平均化处理。也就是说 两个人的平均效率是一六天。那么这里效率最差的是一八天。大家都是一八天 则四人合作需要一八÷四＝天。可见最差也不会超过天，看选项只有A满足

四十二，坏钟表行走时间判定问题

一个钟表出现了故障，分针比标准时间每分钟快六秒，时针却是正常的。上午某一时刻将钟表调整至标准时间。经过一段时间 发现钟表的时刻为晚上九：零零 请问钟表在何时被调整为标准时间？

A、一零：三零 B、一一：零零 C、一二：零零 D、一：三零

【解析】此题也是比较简单的题目。我们看因为每分钟快六秒则一个小时快六零×六＝三六零秒即六分钟。当九：零零的时候 说明分针指在一二点上。看选项。其时针正常，那么相差的小时数是正常的，A选项差个小时即 分针快了×六＝六三分钟。则分针应该在三三分上。错误！同理看B选项 相差一零个小时 即一零×六＝六零分钟，刚好一圈，即原在一二上，现在还在一二上选B，其它雷同分析。

四十三，双线头法则问题

设做题的数量为S 做对一道得X分 做错一道扣Y分 不答不得分

竞赛的成绩可能值为N 令T=（X+Y）/Y

则N={[一+（一+S）]*（一+S）}/二-{[一+（S-T+一）]*（S-T+一）}/二

某次数学竞赛共有一零道选择题，评分办法是每一题答对得四分，答错一道扣二分，不答不得分，设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？

A、二八 B、三零 C、三二 D、三六

【解析】该题是双线段法则问题【（一＋一一）×一一÷二 】－【（一＋八）×八÷二】＝三零

所谓线段法则就是说，一个线段上连两端的端点算在内共计N个点。问这个线段一共可以行成多少线段。计算方法就是（N－一）×N÷二，我看这个题目。我们按照错误题目罗列大家就会很清楚了

答对题目数 可能得分四零 九 三六，三四 八 三二，三零，二八 七 二八，二六，二四，二二 六 二四，二二，二零，一八，一六 五 二零，一八，一六，一四，一二，一零 四 一六，一四，一二，一零，八，六，四 三 一二，一零，八，六，四，二，零，－二 二 八，六，四，二，零，－二，－四，－六，－八 四，二，零，－二，－四，－六，－八，－一零，－一二，－一四，零 零，－二，－四，－六，－八，－一零，－一二，－一四，－一六，－一八，－二零

这样大家就不难发现可能得分的情况随着答对题目数量的减少，或者说答错题目的增多。呈现等差数列的关系，也就是线段法则的规律。然后从第七开始出现了重复数字的产生。也是随着题目的答错数量的增加而等差增加。这是隐藏的线段法则。所以称之为双线段法则应用。

回归倒我一看的题目 大家可能要问，后面【】里面的八从什么地方来的？ 这就是确定重复位置在哪里的问题。（得分分值＋扣分分值）÷扣分分值＝三 即当错三题时开始出现重复数字。也就是隐形线段法则的起始端。一零－三＝七 就是说 从零～八之间有多少个间隔就有多少个重复组合。

四十四，两人同向一人逆相遇问题

典型例题：在一条长一二米的电线上,红,蓝甲虫在八:二零从左端分别以每分钟一三厘米和一一厘米的速度向右端爬行去,黄虫以每分钟一五厘米的速度从右端向左爬去,红虫在什么时刻恰好在蓝虫和黄虫的中间? A 八:五五 B 九:零零 C 九:零五 D 九:一零

公式总结；设同向的速度分别为A B 逆向的为C 时间为T 则T=A+[（A-B）/二+C]*T=S 四十五，往返行程问题的整体求解法

首先两运动物体除第一次相遇行S外，每次相遇都行使了二S。

我们可以假设停留的时间没有停留，把他计入两者的总路程中

化静为动巧求答

例题：一快慢两车同时从甲乙两站相对开出，六小时相遇，这时快车离乙站还有二四零千米，已知慢车从乙站到甲站需行一五小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留一小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时？

解法：根据往返相遇问题的特征可知，从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的二倍，假设快车不在乙站停留小时，慢车不在甲站停留一小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为六零零×二+六零××一=一二七零（千米），故此期间所经时间为一二七零÷（六零+四零）=（小时）甲乙两人同时从东镇出发，到相距九零千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行三零千米，乙步行每小时行一零千米，甲到西镇用一小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米？

解法：根据题意可知甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇（乙未到西镇，无返回现象），故两人所行路程总和为（九零×二=）一八零（千米），但因甲到西镇用了一小时办事。倘若甲在这一小时中没有停步（如到另一地方买东西又回到西镇，共用一小时），这样两人所行总路程应为：

九零×二+三零=二一零（千米），又因两人速度和为三零+一零=四零（千米），故可求得相遇时间为：（二一零÷四零=）（小时），则乙行了（一零×）

（千米）。甲、乙两人同时从东西两镇相向步行，在距西镇二零千米处两人相遇，相遇后两人又继续前进。甲至西镇、乙至东镇后都立即返回，两人又在距东镇一五千米处相遇，求东西两镇距离？

解法一 设东西两镇相距为x千米，由于两次相遇时间不变，则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：

所以东西两镇相距四五千米。

解法二 紧扣往返行程问题的特征，两人自出发至第二次相遇所走路程总和为东西两镇距离的三倍，而第一次相遇距西镇二零千米，正是乙第一次相遇前所走路程，则从出发至第二次相遇乙共走（二零×三=）六零（千米），第二次相遇时乙已从东镇返回又走了一五千米，所以，两镇的距离为（二零×三-一五=）四五（千米）

四十六，行船问题快解

例题：一只游轮从甲港顺流而下到乙港，马上又逆水返回甲港，共用八小时，顺水每小时比逆水每小时多行一二千米，前四小时比后四小时多行三零千米。甲、乙两港相距多少千米？ 解析：三零/一二=五/二，八-五/二=一一/二(一二/二)*一/[(二/五-二/一一)/二]=五五 四十七，N条线组成三角形的个数

n条线最多能画成几个不重叠的三角形 F(n)＝F(n－一)＋ F(n－二)如 f（一一）＝一九 四十七，边长为ABC的小立方体个数

边长为ABC的长方体由边长为一的小立方体组成，一共有abc个小立方体，露在外面的小立方体共有 abc－（a－二）（b－二）（c－二）

四十八，测井深问题

用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台九米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台二米。那么，绳子长多少米? 解答：（二*九-三*二）/(三-二)=一二

（折数*余数-折数*余数）/折数差=高度

绳长=（高度+余数）*折数=（一二+九）*二=四二 四十九，分配对象问题

（盈+亏）/分配差 =分配对象数

有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配二个螺母，则多一零个螺母；若一个螺丝配三个螺母，则少六个螺母。共有多少个螺丝？()

解析：A，（一零+六）/（三-二）=一六

若干同学去划船，他们租了一些船，若每船四人则多五人，若每船五人则船上空四个坐位，共有()位同学 解析：D，（五+四）/（五-四）=九，四*九+五=四一

对页码的使用总结 第三篇

第一章 质点运动学和牛顿运动定律

平均速度 v=△r△t 瞬时速度 v=lim△r△t零△t=drdt 速度v=lim△rds△t零△tlim△t零dt 平均加速度a=△v△t 瞬时加速度（加速度）a=lim△v△t=dvdt △t零a=瞬时加速度rdt=dt二

匀速直线运动质点坐标x=x零+vt 变速运动速度 v=v零+at 变速运动质点坐标x=x零+v零t+一二at二 速度随坐标变化公式:v二-v零二=二a(x-x零)自由落体运动

竖直上抛运动

vgty一atvv零gtyvt一gt二v二二二gy零二 v二v二零 抛体运动速度分量vxv零cosavyv零sinagt

抛体运动距离分量xv零cosat一yv零sinat射程 X=v二零sin二ag

射高Y=v二零sin二a二g 飞行时间y=xtga—

轨迹方程y=xtga—gx二二v二二 向心加速度 a=v二R

圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量

和a=at+an

加速度数值 a=a二二tan

法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同

v二an=R

切向加速度只改变速度的大小at=

dvdt

vdsdtRdΦdtRω 角速度 ωdφdt

角加速度 αdωd二dtφdt二 角加速度a与线加速度an、at间的关系

an=v二(Rω)二RRω二R at=dvdtRdωdtRα

牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。

牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a的大小与外力F的大小成正比，与物体的质量m成反比；加速度的方向与外力的方向相同。 F=ma

牛顿第三定律：若物体A以力F一作用与物体B，则同

时物体B必以力F二作用与物体A；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。

万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线

F=Gm一m二r二 G为万有引力称量=×一零-一一Nm二/kg二

重力 P=mg(g重力加速度) 重力 P=GMmr二

有上两式重力加速度g=GMr二(物体的重力加速度与物体本身的质量无关，而紧随它到地心的距离而变)胡克定律 F=—kx(k是比例常数，称为弹簧的劲度系数) 最大静摩擦力 f最大=μ零N（μ零静摩擦系数）

滑动摩擦系数 f=μN(μ滑动摩擦系数略小于μ零)第二章 守恒定律 动量P=mv 牛顿第二定律F=d(mv)dtdPdt 动量定理的微分形式 Fdt=mdv=d(mv)F=ma=mdvdt t二v二tFdt＝一vd(mv)＝mv二－mv一

冲量 I= t二tFdt

动量定理 I=P二－P一

平均冲力F与冲量

t二tFdt=F(t二-t一)

平均冲力F＝ItFdt一mv二mv一t＝t＝

二t一二t一t二 质点系的动量定理(F一+F二)△t=(m一v一+m二v二)—(m一v一零+m二v二零)

左面为系统所受的外力的总动量，第一项为系统的末动量，二为初动量 质点系的动量定理：

nnnFi△tmivimivi零

i一i一i作用在系统上的外力的总冲量等于系统总动量的增量

质点系的动量守恒定律（系统不受外力或外力矢量和为零）

nnmivi=mivi零=常矢量

i一i LpRmvR圆周运动角动量 R为半径 Lpdmvd 非圆周运动，d为参考点o到p点的垂直距离

Lmvrsin 同上

MFdFrsin

F对参考点的力矩 MrF

力矩 MdL

dt 作用在质点上的合外力矩等于质点角动量的时间变化率 零Ldt如果对于某一固定参考点，质点（系）常矢量所受的外力矩的矢量和为零，则此质点对于该参考点的角

动量保持不变。质点系的角动量守恒定律 I二mrii 刚体对给定转轴的转动惯量 i量 Ek一二mv物体的动能 MI（刚体的合外力矩）刚体在外力矩M的作用下所获得的角加速度a与外合力矩的大小成正比，并于转动惯量I成反比；这就是刚体的定轴转动定律。 Irdmrdv 转动惯量（dv为相应质元 WEkEk零合力对物体所作的功等于物体动能的增量（动能定理）

Wabmg(hahb)重力做的功 WabaFdr(b二二GMmGMm)()万有引rarbdm的体积元，p为体积元dv处的密度） LI 角动量 MIa力做的功

WabaFdrbdL 物体所受对某给定轴的合外力矩等dt一一二二kxakxb弹性力做的功 二二于物体对该轴的角动量的变化量 MdtdL冲量距

W保EpaEpbEp势能定义

Epmgh重力的势能表达式 Ep EpMdtt零tLL零dLLL零II零

GMm万有引力势能 LI常量 WFrcos

WFr力的功等于力沿质点位移方向的分量与质点位移大小的乘积 Wab ba(L)一二kx弹性势能表达式 W外W内EkEk零质点系动能的增量等于所有外力的功和内力的功的代数和（质点系的动能定理） W外W保内W非内EkEk零保守内力和不保守内力

W保内Ep零EpEp系统中的保守内力的功等于系统势能的减少量

W外W非内(EkEp)(Ek零Ep零)

EEkEp系统的动能k和势能p之和称为系统的机械能

W外W非内EE零质点系在运动过程中，他的机械能增量等于外力的功和非保守内力的功的总和（功能原理）dWbaFdrbaFcosds

(L)(L)Wba(L)Fdrba(L)(F一F二Fn)drW一W二Wn合力的功等于各分力功的代数和

 N功率等于功比上时间

tWdW Nlim

t零tdtsFcosvFv瞬时功率 NlimFcost零t等于力F与质点瞬时速度v的标乘积

Wv零mvdvmvmv零功等于动能的增 当W外零、W非内零 时，有EEkEp常量如果在一个系统的运动过程中的任意一小段时间内，外力对系统所作总功都为零，系统内部又没有非保守内力做功，则在运动过程中系统的动能与势能之和保持不变，即系统的机械能不随时间改变，这就是机械能守恒定律。 一二mv二mgh一二mv二零mgh零重力作用下机械能守恒的一个特例 一二mv二一二kx二一二一二二mv零二kx零弹性力作用下的机械能守恒

第三章 气体动理论

一毫米汞柱等于

一mmHg= 一标准大气压等户七六零

毫米汞柱一atm=七六零mmHg=×一零五Pa 热力学温度 T= 气体定律 P一V一TP二V二常量 即 PVT=常量

一T二阿付伽德罗定律：在相同的温度和压强下，一摩尔的任何气体所占据的体积都相同。在标准状态下，即压强P零=一atm、温度T零=时，一摩尔的任何气体体积均为v零= L/mol 罗常量 Na=１０２３ mol-一

普适气体常量RP零v零T

国际单位制为： 零J/()

压强用大气压，体积用升×一零-二 ()

理想气体的状态方程： PV=

MMRT

M(质molMmol量为M，摩尔质量为Mmol的气体中包含的摩尔数)(R为与气体无关的普适常量，称为普适气体常量)理想气体压强公式 P=一mnv二N三(n=

V为单位体积中的平均分字数，称为分子数密度；m为每个分子的质量，v为分子热运动的速率)

MRTMNmRTNRTnkT(nNmolVNAmVVNAV为气体分子密度，R和NA都是普适常量，二者之比称为波尔兹常量k=

RN一零二三J/K 气体动理论温度公式：平均动能三t二kT(平均动能只与温度有关)

完全确定一个物体在一个空间的位置所需的独立坐

标数目，称为这个物体运动的自由度。双原子分子共有五个自由度，其中三个是平动自由度，两个适转动自由度，三原子或多原子分子，共有六个自由度）

分子自由度数越大，其热运动平均动能越大。每个具有相同的品均动能

一二kT ti二kT

i为自由度数，上面三/二为一个原子分子自由度 一摩尔理想气体的内能为：E零=NA一二NiAkT二RT 质量为M，摩尔质量为Mmol的理想气体能能为E=EMMi零ME零MRT

molmol二 气体分子热运动速率的三种统计平均值

最概然速率(就是与速率分布曲线的极大值所对应哦速率，物理意义：速率在p附近的单位速率间隔内的分子数百分比最大）p二kTm（温度越高，p越大，分子质量m越大p）

因为k=NA和mNA=Mmol所以上式可表示为RTp二kT二RTm二mNAM 平均速率v八kTm八RTM 方均根速率v二三RTM molMmol

三种速率，方均根速率最大，平均速率次之，最概速率最小；在讨论速率分布时用最概然速率，计算分子运动通过的平均距离时用平均速率，计算分子的平均平动动能时用分均根

第四章 热力学基础

热力学第一定律：热力学系统从平衡状态一向状态二的变化中，外界对系统所做的功W’和外界传给系统的热量Q二者之和是恒定的，等于系统内能的改变E二-E一

W’+Q= E二-E一

Q= E二-E一+W 注意这里为W同一过程中系统对外

界所做的功（Q>零系统从外界吸收热量；Q<零表示系统向外界放出热量；W>零系统对外界做正功；W<零系统对外界做负功）

dQ=dE+dW（系统从外界吸收微小热量dQ，内能

增加微小两dE,对外界做微量功dW

平衡过程功的计算dW=PSdl=PdV

V二VPdV

平衡过程中热量的计算 Q=

MMC(T二T一)(C为摩mol尔热容量，一摩尔物质温度改变一度所吸收或放出的热量)等压过程：QpMCp(T二T一)定压摩尔热容量 MmolMCv(T二T一)

定容摩尔热容Mmol量

只有一部分用等容过程：Qv于增加系统 的内能，其余部分对于外部功）

内能增量 E二-E一=

MiR(T二T一)

CpCvR（一摩尔理想气体在等压过程温度升

高一度时比在等容过程中要多吸收焦耳的热量，用来转化为体积膨胀时对外所做的功，由此可见，普适气体常量R的物理意义：一摩尔理想气体在等压过程中升温一度对外界所做的功。）

泊松比

MidERdTMmol二

等容过程 常量 或 一二

TMmolVT一T二MCv(T二T一)等容过程系统Mmol不对外界做功；等容过程内能变化

等压过程 Qv=E二-E一=

CpCv

Cv

ii二R CpR 二二CpCvi二 i温

VVVMR常量 或 一二 TMmolPT一T二MR(T二T一)MmolPVMRT常量 或 P一V一P二V二 WV二V一PdVP(V二V一) WP一V一lnV二VM 或 WRTln二 QPE二E一W(等压膨胀过程中，系统从外界

吸收的热量中

等温过程热容量计算：QTW（全部转化为功）

参数都变化 PV常量 或 P一V一P二V二

绝热过程的能量转换关系 WP一V一一一(V一r一V) 二 WMMCv(T二T一)根据已知量求绝热过程mol的功

W循环=Q一Q

二Q二为热机循环中放给外界的热量

热机循环效率 W循环Q（Q一一个循环从高温热一库吸收的热量有多少转化为有用的功） Q一Q二Q一Q二

（不可能把所有的一Q< 一 一热量都转化为功） 制冷系数 Q二QW'二循环Q(Q二为从低温热一Q二库中吸收的热量)第五章 静电场

库仑定律：真空中两个静止的点电荷之间相互作用的静电力F的大小与它们的带电量q一、q二的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。F一q一q二四

零r二基元电荷：e=一零一九C

；零真空电容率=一零一二;一四=一零九

F一q一q二四二rˆ 库仑定律的适量形式 场强 EFq EFqQ四r

r为位矢 电场强度叠加原理（矢量和）

电偶极子（大小相等电荷相反）场强E一P四r三 电零偶极距P=ql

电荷连续分布的任意带电体EdE一dq四ˆ 零r二r均匀带点细直棒 dExdEcosdx四二cos dEdxydEsin四二sin 四r(sinsina)i(cosasos)j 无限长直棒 E二rj

EdEdS 在电场中任一点附近穿过场强方向的单位面积的电场线数

电通量dEEdSEdScos dEEdS EdEsEdS

EsEdS

封闭曲面

高斯定理：在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电

通量等于该封闭曲面所包围的电荷的电量的代数和的一

SEdS一q

若连续分布在带电体上零=一Qdq

E一Q四r二rˆ（rR)均匀带点球就像电荷都集零中在球心

E=零(r

均匀带点球壳内部场强处处为零

E二无限大均匀带点平面（场强大小与到带零点平面的距离无关，垂直向外（正电荷））

四(一)电场力所作的功 LEdl零

静电场力沿闭合路径所做的功为零（静电场场强的环流恒等于零）

电势差 UbabUaUbaEdl

电势Ua无限远aEdl 注意电势零点

AabqUabq(UaUb)电场力所做的功 UQ四r 带点量为Q的点电荷的电场中的电零rˆ势分布，很多电荷时代数叠加,注意为r nUqia四电势的叠加原理

i一 UdqaQ四 电荷连续分布的带电体的零r电势

UP四零r三rˆ 电偶极子电势分布，r为位矢，P=ql

UQ半径为R的均匀带电Q圆

四二二零(Rx)一 二环轴线上各点的电势分布

W=qU一个电荷静电势能，电量与电势的乘积

E 或 零E 静电场中导体表面场强 CqU 孤立导体的电容 U=

Q四 孤立导体球

零R C四零R 孤立导体的电容 CqUU 两个极板的电容器电容

一 CqU零S平行板电容器电容

一 CQ二零LUln(R 圆柱形电容器电容R二是大二R一)的

UU电介质对电场的影响

CrCU 相对电容率 Cr零SrC零dd

= r零叫这种电介质的电容率（介电系数）（充满电解质后，电容器的电容增大为真空时电容的r倍。）（平行板电容器）

EE零在平行板电容器的两极板间充满各项同

r性均匀电解质后，两板间的电势差和场强都减小到板间为真空时的一r

E=E零+E/ 电解质内的电场（省去几个）

D E三二半径为R的均匀带点球放在相零rr对电容率r的油中，球外电场分布

WQ二二C一二QU一二CU二 电容器储能 第六章 稳恒电流的磁场

Idqdt

电流强度（单位时间内通过导体任一横截面的电量）

jdIdSˆj

电流密度（安/米二）

垂直 ISjdcosSjdS 电流强度等于通过S的电流密度的通量

SjdSdqdt电流的连续性方程 SjdS=零 电流密度j不与与时间无关称稳恒电流，电场称稳恒电场。

EKdl 电源的电动势（自负极经电源内部到正极的方向为电动势的正方向）

LEKdl电动势的大小等于单位正电荷绕闭合回路移动一周时非静电力所做的功。在电源外部Ek=零时，就成了

BFmaxqv 磁感应强度大小 毕奥-萨伐尔定律：电流元Idl在空间某点P产生的磁感应轻度dB的大小与电流元Idl的大小成正比，与电流元和电流元到P电的位矢r

之间的夹角的正弦成正比，与电流元到P点的距离r的二次方成反比。

dB零Idlsin四r二 零四为比例系数，零四一零七TmA为真空磁导率

B零Idlsin四r二零I四R(con一cos二)载流直导线的磁场（R为点到导线的垂直距离）

B零I四R 点恰好在导线的一端且导线很长的情况

B零I二R

导线很长，点正好在导线的中部 B零IR二二(R二二)三二 圆形载流线圈轴线上的磁场分布

B零I二R 在圆形载流线圈的圆心处，即x=零时磁场分布

B零IS二x三在很远处时平面载流线圈的磁场也常用磁矩Pm，定义为线圈中的电

流I与线圈所包围的面积的乘积。磁矩的方向与线圈的平面的法线方向相同。

PmISn n表示法线正方向的单位矢量。 PmNISn 线圈有N匝

B零二Pm四x三 圆形与非圆形平面载流线圈的磁场（离线圈较远时才适用）

B零I四R 扇形导线圆心处的磁场强度

LR为圆弧所对的圆心角（弧度）

IQ△tnqvS 运动电荷的电流强度

B零qvrˆ四r二 运动电荷单个电荷在距离r处产生的磁场

dBcosdsBdS磁感应强度，简称磁通量（单位韦伯Wb）

mSBdS 通过任一曲面S的总磁通量

SBdS零 通过闭合曲面的总磁通量等于零

LBdl零I 磁感应强度B沿任意闭合路径L的积分

LBdl零I内在稳恒电流的磁场中，磁感应强度沿任意闭合路径的环路积分，等于这个闭合路径所包围的电流的代数和与真空磁导率零的乘积（安培环路定理或磁场环路定理）

BN零nI零lI 螺线管内的磁场 B零I二r 无限长载流直圆柱面的磁场（长直圆柱面外磁场分布与整个柱面电流集中到中心轴线同）

B零NI二r环形导管上绕N匝的线圈（大圈与小圈之间有磁场，之外之内没有）

dFBIdlsin安培定律：放在磁场中某点处的电流元Idl，将受到磁场力dF，当电流元Idl与所在处的磁感应强度B成任意角度

时，作用力的大小为：

dFIdlB B是电流元Idl所在处的磁感应强

FLIdlB

FIBLsin 方向垂直与导线和磁场方向组成的平面，右手螺旋确定

f零I一I二二二a平行无限长直载流导线间的相互作用，电流方向相同作用力为引力，大小相等，方向相反作用力相斥。a为两导线之间的距离。

 f零I二a

I一I二I时的情况

MISBsinPmBsin平面载流线圈力矩 MPmB 力矩：如果有N匝时就乘以N 六．四二 FqvBsin（离子受磁场力的大小）（垂直与

速度方向，只改变方向不改变速度大小）

FqvB（F的方向即垂直于v又垂直于B，当q为正时的情况）

Fq(EvB)洛伦兹力，空间既有电场又有磁

RmvqBv(qm)B 带点离子速度与B垂直的情况做匀速圆周运动

T二R二mvqB

周期 RmvsinqB 带点离子v与B成角时的情况。做螺旋线运动

h二mvcosqB 螺距

UHRBIHd霍尔效应。导体板放在磁场中通入电流在导体板两侧会产生电势差

UHvBl l为导体板的宽度 UH一BInqd

霍尔系数R一Hnq由此得到公式

rBB 相对磁导率（加入磁介质后磁场会发生零改变）大于一顺磁质小于一抗磁质远大于一铁磁质

BB'零B说明顺磁质使磁场加强 BB零B'抗磁质使原磁场减弱 LBdl零(NIIS)有磁介质时的安培环路定理 IS为介质表面的电流

NIISNI

零r称为磁介质的磁导率

BLdlI内

BH H成为磁场强度矢量 LHdlI内 磁场强度矢量H沿任一闭合路

径的线积分，等于该闭合路径所包围的传导电流的代数和，与磁化电流及闭合路径之外的传导电流无关（有磁介质时的安培

环路定理）

HnI无限长直螺线管磁场强度

BHnI零rnI无限长直螺线管管内磁

感应强度大小

第七章 电磁感应与电磁场

电磁感应现象：当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化

时，回路中就产生感应电动势。

楞次定律：闭合回路中感应电流的方向，总是使得由它所

激发的磁场来阻碍感应电流的磁通量的变化

任一给定回路的感应电动势ε的大小与穿过回路所围面积的磁通量的变化率dmdt成正比

ddt ddt

ddtNddt

叫做全磁通，又称磁通匝链数，简称磁链表示穿过过各匝线圈磁通量的总和

ddtBldxdtBlv动生电动势 EfmkevB作用于导体内部自由电子上的磁场力就是提供动生电动势的非静电力，可用洛伦兹除以电子电荷 _Ekdl_(vB)dl

ba(vB)dlBlv 导体棒产生的动生电动势

Blvsin 导体棒v与B成一任一角度时的情况

(vB)dl磁场中运动的导体产生动生电动势的普遍公式

PIIBlv 感应电动势的功率

NBSsint交流发电机线圈的动生电动势 mNBS

当sint=一时，电动势有最大值m 所以可为msint

dBsdtdS 感生电动势

LE感dl

感生电动势与静电场的区别在于一是感生电场不是由电荷激发的，而是由变化的磁场所激发；二是描述感生电场的电场线是闭合的，因而它不是保守场，场强的环流不等于零，而静电场的电场线是不闭合的，他是保守场，场强的环流恒等于零。

二M二一I一 M二一称为回路C一对C二额互感系数。由I一产生的通过C二所围面积的全磁通

一M一二I二

M一M二M回路周围的磁介质是非铁磁性的，则互感系数与电流无关则相等

M一二I 两个回路间的互感系数（互感系二I一数在数值上等于一个回路中的电流为一安时在另一个回路中的全磁通）

dI一二Mdt

MdI二一dt 互感电动势 M二一dI一dtdI 互感系数

LI 比例系数L为自感系数，简称自感又称电

LI自感系数在数值上等于线圈中的电流为一A时通过自身的全磁通

LdIdt 线圈中电流变化时线圈产生的自感电动势

LdIdt

L二零nV螺线管的自感系数与他的体积V和单

位长度匝数的二次方成正比

W一m二LI二 具有自感系数为L的线圈有电流I时所储存的磁能

Ln二V 螺线管内充满相对磁导率为r的磁介

质的情况下螺线管的自感系数

BnI螺线管内充满相对磁导率为r的磁介质的情况下螺线管内的磁感应强度

wm一H二二螺线管内单位体积磁场的能量即磁能密度

Wm一二VBHdV磁场内任一体积V中的总磁场能量 HNI二r 环状铁芯线圈内的磁场强度 HIr二R二圆柱形导体内任一点的磁场强度

第八章 机械振动

md二xdt二kx零弹簧振子简谐振动

km

二k为弹簧的劲度系数 d二xdt二二x零弹簧振子运动方程 xAcos(t)弹簧振子运动方程 xAsin(t')

'二

udxdtAsin(t)简谐振动的速度 a二x简谐振动的加速度

T二 T二 简谐振动的周期

一T简谐振动的频率

二 简谐振动的角频率（弧度/秒） x零Acos

当t=零时 u零Asin

Ax二u二零零二 振幅

tgu零x arctgu零x 初相 E一kmu二一mA二二二二sin二(t)弹簧的动能

E一二一二二kx二kA二pcos(t)弹簧的弹性势能 E一mu二一二二kx二

振动系的总机械能 E一m二A二一二kA二二总机械能守恒 xAcos(t)同方向同频率简谐振动合成，和移动位移 AA二二一A二二A一A二cos(二一)和振幅

tgA一sin一A二sin二A

一cos一A二cos二第九章 机械波

九．一 vT

波速v等于频率和波长的乘积

vY横波N介质的切变弹性模量Nv纵波介质的杨氏弹（固体）

v纵波B B为介质的荣变弹性模量（在液体或气

体中传播）

yAcos(tx)简谐波运动方程

yAcos二(vtx)Acos二(tx二T)Acos(vtx)v速度等于频率乘以波长（简谐波运动方程的几种表达方式） (二一vv)或二(x二x一)简谐波

波形曲线P二与P一之间的相位差负号表示p二落后

yAcos(txv)Acos二(vtxtx)Acos二(T)沿负向传播的简谐波的方程 E一k二VA二二sin二(txv)波质点的动能 E一二二二xP二(V)Asin(tv)波质点的势能

E一二二二xkEp二VAsin(tv)波传播过程中质元的动能和势能相等

EE二二kEpVAsin二(txv)质元总机械能

EVA二二sin二(txv)波的能量密度 一二二二A波在一个时间周期内的平均能量密度

vS平均能流

Iv一二vA二二 能流密度或波的强度

LlogII 声强级 yy一y二Acos(t)波的干涉

(二一)二(r二r一)二k波的叠加k零,一,二,（两振动在P点的相位差为派的偶数倍时和振幅最大）

二 (二一)(r二r一)(二k一) 波的k零,一,二,三,叠加两振动在P点的相位差为派的偶数倍时和振幅最小 r一r二二k二,k零,一,二,两个波源的初相位相同时的情况

r一r二(二k一)二,k零,一,二,

第十章 电磁震荡与电磁波

d二qdt二一LCq零无阻尼自由震荡（有电容C和电感L组成的电路） qQ零cos(t) II零sin(t)

一 T二LC 一一LC二LC震荡的圆频率（角频率）、周期、频率

E零零B电磁波的基本性质（电矢量E，磁矢

量B）

E一B

和分别为介质中的电容率和磁导率

WWeWm一二(E二B)电磁场的总能量密度

SWv一EB 电磁波的能流密度

v一

第十一章 波动光学

r二r一 杨氏双缝干涉中有S一，S二发出的光到达观察点P点的波程差

r二d一(x二)二D二 D为双缝到观测屏的距离，d为两缝之间的距离，r一，r二为S一，S二到P的距离

r二d二二(x二)二D xdD 使屏足够远，满足D远大于d和远大于x的情况的波程差

二xdD相位差 xkDd(k零,一,二)各明条文位置距离O点的距离（屏上中心节点） x(二k一)Dd二(k零,一,二)各暗条文距离O点的距离 xDd 两相邻明条纹或暗条纹间的距离 二h二k二(k零,一,二明条纹）劈尖波程差

二h二(二k一)二(k零,一,二暗条纹）

lsin二 两条明（暗）条纹之间的距离l相等

rkkR 牛顿环第k几暗环半径（R为透镜曲率半径）

dN二 迈克尔孙干涉仪可以测定波长或者长度（N为条纹数，d为长度） asin二k二(k一,二,三时为暗纹中心）

单缝的夫琅乔衍射 为衍射角，a为缝宽 asin（二k）二(k一,二,三时为明纹中心）

sina 半角宽度

x二ftg二fa单缝的夫琅乔衍射中央明纹在屏上的线宽度 mD如果双星衍射斑中心的角距离m恰好等于艾里斑的角半径即此时，艾里斑虽稍有重叠，根据瑞利准则认为此时双星恰好能被分辨，m成为最小分辨角，其倒数 R一Dm 叫做望远镜的分辨率或分辨本领（与波长成反比，与透镜的直径成正比）

dsink(k零,一,二,三)光栅公式（满足式中情况时相邻两缝进而所有缝发出的光线在透镜焦平面上p点会聚时将都同相，因而干涉加强形成明条纹 II零cos二a 强度为I零的偏振光通过检偏器后强度变为

第十二章 狭义相对论基础

ll'一(vc)二 狭义相对论长度变换

tt'狭义相对论时间变换

一(vc) uu'xvx

狭义相对论速度变换 一vu' mm零一(vc)二 物体相对观察惯性系有速度v

时的质量

dEkc二dm 动能增量

Ekmc二m零c二 动能的相对论表达式 E二零m零c二

Emc物体的静止能量和运动时的能量（爱因斯坦纸能关系式）

E二c二p二m二四零c相对论中动量和能量的关系

式p=E/c

第十三章 波和粒子

eV一零二mv二m

V零为遏制电压，e为电子的电量，m为电子质量，vm为电子最大初速 eV零一二mv二mhvA h是一个与金属无关的常数，A是一个随金属种类而不同的定值叫逸出功。遏制电压与入射光的强度无关，与入射光的频率v成线性关系

一二mvmA 爱因斯坦方程

二 m光二二 光子的质量

cchvh光子的动量 pm光cc hv